Probabilidad
Probabilidad
Al hablar de probabilidad se habla de la posibilidad de que suceda un evento, y en esta sección hablaremos de la posibilidad de ocurrencia de un evento relacionado con la frecuencia relativa de ese evento, relacionada con el número total de eventos de nuestra muestra. Cuando eventos tienen una frecuencia relativa igual se dice que estos eventos tienen una posibilidad de ocurrencia igual o son equivalentes.
Definición Se dice que si un evento puede ocurrir de
\(N\) formas mutuamente excluyentes e
igualmente posibles, y \(m\) de estas
formas poseen una característica \(E\),
la probabilidad de que ocurra \(E\) es
igual a \(m/N\).
Si definimos \(P(E)\) como la
“Probabilidad de E” de la definición anterior podemos expresar \[ P(E) = \frac{m}{N}\]
Probabilidad de frecuencia relativa El enfoque de la
probabilidad por frecuencia relativa nos indica que la probabilidad
depende de la repetición de algún proceso y la capacidad de contar sus
repeticiones así como el número de veces que un evento de interés
ocurre.
Definición Si algún proceso se repite un número grande
de veces, \(n\), y si algún evento
relativo a ese proceso resultante con característica \(E\) ocurre \(m\) veces, la frecuencia relativa de
ocurrencia de \(E\), \(m/n\), será aproximadamente igual a \(P(E) = \frac{m}{n}\).
Propiedades elementales de la probabilidad
Dado un proceso con \(n\) resultados mutuamente excluyentes (llamados eventos), \(E_1, E_2, \dots , E_n\) la probabilidad de cualquiera de ellos es un número diferente de cero, \[ P(E_i) \geq 0\]
La suma de las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes es igual a 1. \[P(E_1) + P(E_2) + \dots + P(E_n) = 1 \]
Considere dos eventos mutuamente excluyentes, \(E_i\) y \(E_j\). La probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos \(E_i\) o \(E_j\) es igual a la suma de sus probabilidades.
\[P(E_i + E_j) = P(E_i) + P(E_j)\]
Probabilidad de un evento
En este ejemplo Carter et al. investigó la edad del debut del desorden bipolar. Una de las variables que se investigó fue la historia familiar de Trastornos Afectivos (mood disorders). La Tabla 1 a continuación muestra las frecuencias de historia familiar de Trastornos Afectivos para dos rangos de edad para el debut de la enfermedad; Temprana a los menores o de 18 años y tardía para estrictamente mayores de 18 años.
Tabla 1 Frecuencia de historia familiar de Trastornos Afectivos por grupo de edad entre sujetos bipolares, de Carter et al. (2003), Daniel capítulo 3.
\[\begin{array}{lccc} {\verb+Historia Familiar de Trastornos Afectivos+} & {\verb+Temprano ≤ 18 (E)+} & {\verb+Tardío > 18 (L)+} & {\verb+Total+} \\ \verb+Negativo (A)+ & 28 & 35 & 63 \\ \verb+Desorden Bipolar (B)+ & 19 & 38 & 57 \\ \verb+Unipolar (C)+ & 41 & 44 & 85 \\ \verb+Unipolar y Bipolar (D)+ & 53 & 60 & 113 \\ \hline \verb+Total+ & 141 & 177 & 318 \end{array} \]
Pregunta si tomamos a una persona de este grupo, cual es la probabilidad de que esta persona sea menor o tenga 18 años?
Respuesta Este es un grupo de 318 sujetos (muestra) y de la muestra completa, menores o de 18 son 141 (como menores o de 18 es excluyente de mayores a 18), la probabilidad es el número de sujetos en (Temprano, \(\leq 18\))/total de sujetos de la muestra
\[ P(E) =141/318 = 0.4434 \]
Probabilidad Condicional
Cuando la probabilidad se calcula con la frecuencia de un sub-grupo
del total de la muestra como la escala, la probabilidad es
condicional, en este ejemplo que acabamos de estimar, se puede
decir que la probabilidad es incondicional ya que se usó el total de la
muestra para estimar la probabilidad. Pero si restringimos la escala (el
tamaño del denominador) para estimar la probabilidad se dice que es una
probabilidad marginal ya que los totales marginales de la
muestra son los que se usan.
Pregunta Supongamos que escogemos un sujeto de la
muestra de los 318 sujetos y resulta que es de 18 años o más
joven (esto es, pertenece a la columna \((E)\)), Cual es la probabilidad de que este
sujeto pertenezca a una familia que no tiene historial de Trastornos
Afectivos \((A)\)?
Respuesta Se dice que la probabilidad de que el sujeto
pertenezca a que su familia no tenga historial de Trastornos Afectivos
\((A)\) y además sea de 18 o menos años
\((E)\), se escribe como \(P(A \mid E)\) “Probabilidad de A
dado E” y la probabilidad condicional es A para \(\leq 18\) (28) de todos los de la columna
\((E)\) (que son \(\leq 18\)) (141), entonces
\[P(A \mid E) = 28/141 = .1986\]
Probabilidad conjunta
Algunas veces se quiere estimar la probabilidad de escoger a un
sujeto de una muestra pero que tenga dos características de la muestra
(que no son mutuamente excluyentes), es el caso de la probabilidad
conjunta.
Pregunta Cual es la probabilidad de escoger a un sujeto
de los 318 que pertenece a la clasificación debut Temprano (18 años o
menos) columna \((E)\) y que es de una
familia que no tiene historial de Trastornos Afectivos \((A)\)
Repuesta La probabilidad que estamos buscando se
escribe cómo \(P(E \cap A)\) que
significa E y A (intersección) \(E
\cap A\) indica la condición conjunta de las dos
condiciones \(E\) y \(A\) de la selección de TODA la muestra
(318), la “intersección de la columna E y el renglón A de toda la
muestra”
\[ P(E \cap A) = 28/318 = 0.0881\]
Regla de la multiplicación
Se puede estimar la probabilidad conjunta del producto de una probabilidad marginal adecuada con una probabilidad condicional adecuada, que se conoce como la regla de multiplicación.
Se quiere calcular la probabilidad conjunta de debut temprano \((E)\) y la falta de historial familiar de
Trastornos Afectivos \((A)\) a partir
de probabilidades marginales. Sabemos que la probabilidad marginal \(P(E) = 141/318 = .4434\) y la probabilidad
condicional \(P(A \cap E) = 28/141 =
.1986\) son probabilidades marginales muy adecuadas por que \(P(E \cap A) = P(E)P(A \mid E) = (.4434)(.1986) =
.0881\) que es el resultado que ya habíamos calculado pero usando
probabilidades marginales.
En general se tiene que
\[ P(A \cap B) = P(A)P(B \mid
A),\hspace{10pt} \verb+si + P(A) \neq 0\]
\[ P(B \cap A) = P(B)P(A \mid B),\hspace{10pt} \verb+si + P(B) \neq 0\]
Probabilidad condicional
La probabilidad condicional de \(A\) dado \(B\) es igual a la probabilidad de \(A \cap B\) dividida por la probabilidad de \(B\), siempre que la probabilidad de \(B\) no sea cero
\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} ,\hspace{10pt} P(B) \neq 0 \]
Regla de la adición
Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes la
probabilidad se calcula por medio de la regla de la adición.
Definición Dados dos eventos \(A\) y \(B\), la probabilidad de que el evento \(A\), o el evento \(B\), o los dos ocurran es igual a la
probabilidad de que el evento \(A\)
ocurra más la probabilidad de que el evento \(B\) ocurra, menos la probabilidad de que
los eventos ocurran en forma simultanea.
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
Cuando los eventos \(A\) y \(B\) no pueden ocurrir de forma simultanea, \(P(A \cup B)\) es llamado “O exclusivo” y \(P(A \cap B) = 0\)
Ejemplo Si seleccionamos de forma aleatoria de los 318 sujetos de la Tabla 1, cuál es la probabilidad de que esta persona pertenezca al grupo de debut temprano de Trastornos Afectivos \((E)\) o pertenezca al grupo de familia sin historial de Trastornos Afectivos \((A)\) o ambos?
La probabilidad que estamos buscando es \(P(E \cup A)\), por la regla de la adición
es igual a \(P(E \cup A) = P(E) + P(A) - P(E
\cap A)\), sabemos que \(P(E) = 141/318
= .4434\) y ya calculamos \(P(E \cap A)
= 28/318 = .0881\) y directo de la Tabla 1, \(P(A) = 63/318 = .1981\), y sustituyendo en
la ecuación
\[P(E \cup A) = .4434 + .1981 - .0881 =
.5534\]
Eventos independientes
Cuando la probabilidad del evento \(A\) es igual sin importar que \(B\) ocurra o no, entonces \(P(A \mid B) = P(A)\) y se dice que A y B son independientes, y la regla de la multiplicación se expresa como
\[P(A \cap B) = P(A)P(B);\hspace{10pt} P(A) \neq 0,\hspace{10pt} P(B) \neq 0\]
Entonces se tiene el caso para dos eventos independientes de
probabilidad diferente de cero, cada una de las siguientes relaciones es
cierta:
\[ P(A \mid B) = P(A),\hspace{10pt} P(B \mid
A) = P(B),\hspace{10pt} P(A \cap B) = P(A)P(B)\]
Evento complementario
La probabilidad del evento \(A\) es igual a 1 menos la probabilidad de su evento complementario \(\bar A\) que se expresa como \[ P(\bar{A}) = 1 - P(A)\]
Probabilidad marginal
Una definición general de este tipo de probabilidad, es la siguiente Definición: Dada una variable que puede ser clasificada en \(m\) categorías designadas por \(A_1, A_2, \dots, A_i, \dots, A_m\) y otra variable con ocurrencia conjunta que está clasificada en \(n\) categorías designadas por \(B_1, B_2, \dots, B_j, \dots, B_n\), la probabilidad marginal de alguna de las categorías \(A_i\), \(P(A_i)\) es igual a la suma de las de las probabilidades conjuntas de \(A_i\) con todas las categorías de B. Esto es,
\[P(A_i) = \sum_{j=1}^{n}P(A_i \cap B_j), \hspace{10pt}\verb+(todos los valores de j)+\]