Teoría del muestreo

1. En el estudio de la encuesta del Instituto Nacional de Salud y Nutrición (NHANES) 1999-2000 se reportó que los niveles de calcio en hombres y mujeres de 60 años y mayores se encuentran resumidos en la siguiente tabla. Use esta estimación del promedio \(\mu\) y \(\sigma\) para la población de EEUU para este grupo de edad. Si tomamos una muestra aleatoria de \(40\) hombres y \(35\) mujeres, cual es la probabilidad de obtener una diferencia muestral entre sus promedios de \(100 mg\) o más?

\[\begin{array}{lcc} \verb+Genero+ & \verb+Promedio+ & \verb+Desviación Estándar+ \\ \hline \verb+Hombres+ & 797 & 482 \\ \verb+Mujeres+ & 660 & 414 \\ \end{array} \]

2. Dadas dos poblaciones distribuidas normalmente con promedios iguales y varianzas \(\sigma_1^2 = 100\) y \(\sigma_2^2=80\), cual es la probabilidad de que muestras de tamaño \(n_1 = 25\) y \(n_2 = 16\) resulten en un valor \(\bar{x_1} - \bar{x_2}\) mayor o igual a \(8\)?

3. En la encuesta NHANES de 1999-2000 los investigadores determinaron que el 64 por ciento de los adultos estadounidenses entre \(20-74\) años de edad estaban con sobrepeso o obesos (sobrepeso: IMC 25-29, obeso: IMC de 30 o más). Use este estimado como la proporción de la población de adultos entre \(20-74\), si \(125\) sujetos son seleccionados al azar de esta población, cual es la probabilidad que \(70\) por ciento o más se encuentre con sobrepeso u obesidad?

4. Dada una población en la que \(p=.6\) y una muestra aleatoria de tamaño \(n=100\) de esta población, encuentre
   

1. \(P(\hat{p} \geq .65)\)
   
2. \(P(\hat{p} \leq .58)\)
   
3. \(P(.56 \leq \bar{p} \leq .63)\)

5. De acuerdo al Censo de los Estados Unidos 2000, \(9.5\) por ciento de los niños en el estado de Ohio no estaban cubiertos por seguro médico (privado o público). En el estado vecino de Pennsylvania, \(4.9\) por ciento de los niños no estaban cubiertos con seguro médico. Suponga que estas son las proporciones de las poblaciones de cada estado. Si una muestra aleatoria de \(100\) niños es tomada del estado de Ohio, y una muestra aleatoria independiente de \(120\) niños es tomada del estado de Pennsylvania, cuál es la probabilidad de que las muestras tomadas den como resultado una diferencia de la proporción, \(\hat{p_1} - \hat{p_2}\) de \(.09\) o más?